$$X = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad b = \begin{bmatrix} 7 \ 5 \ 3 \ 0 \end{bmatrix}$$

我们称这些为列向量；它们分别是 $3 \times 1$ 和 $4 \times 1$ 矩阵。于是方程组 (5.1) 可以表示为如下形式

AX = b

其中矩阵 $\mathbf{A}$ 与向量 $\mathbf{X}$ 的乘积理解为生成 (5.1) 的左端各等式。

坐标轴的变换

在许多问题中，将直角坐标系 Oxy 变换为新的 Ox'y' 坐标系是很方便的，方法是将 Oxy 系绕原点 O 逆时针旋转一个角度 $\theta$ ，如图 5.1 所示。然后我们寻求 Oxy 系中点 P 的坐标 $(x, y)$ 与 Ox'y' 系中 P 的坐标 $(x', y')$ 之间的关系。三角学给出

$$x = r \cos \phi, \quad y = r \sin \phi$$

以及

$$x' = r \cos(\phi - \theta), \quad y' = r \sin(\phi - \theta)$$

展开三角表达式得

$$x' = r \cos \phi \cos \theta + r \sin \phi \sin \theta = x \cos \theta + y \sin \theta \quad (5.2)$$

$$y' = r \sin \phi \cos \theta - r \cos \phi \sin \theta = y \cos \theta - x \sin \theta$$

如果我们取

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{X}' = \begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix}$$

图 5.1
坐标轴
从 Oxy 变换到 Ox'y'。