则 (5.2) 可以用标准矩阵记号写成

$$X' = BX$$

我们看到，坐标变换可以自然地写成矩阵形式，其中 $B$ 包含了关于该变换的全部信息。

'矿石'问题

一个更实际的问题是关于矿石的混合。已知三种矿石含有如图 5.2 所示比例的 Pb、Fe、Cu 和 Mn。如果我们按如下方式混合矿石，使得有 $x_1$ 千克的矿石 1， $x_2$ 千克的矿石 2 和 $x_3$ 千克的矿石 3，那么我们可以计算出每种元素的含量为

$$\left. \begin{aligned} \text{amount of Pb} &= A_{\text{Pb}} = 0.1x_1 + 0.2x_2 + 0.3x_3 \ \text{amount of Fe} &= A_{\text{Fe}} = 0.2x_1 + 0.3x_2 + 0.3x_3 \ \text{amount of Cu} &= A_{\text{Cu}} =} = 0.6x_1 + 0.2x_2 + 0.2x_3 \ \text{amount of Mn} &= A_{\text{Mn}} = 0.1x_1 + 0.3x_2 + 0.2x_3 \end{aligned} \right} \quad (5.3)$$

我们可以把图 5.2 中的数组改写为一个矩阵

$$A = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 & 0.3 \ 0.2 & 0.3 & 0.3 \ 0.6 & 0.2 & 0.2 \ 0.1 & 0.3 & 0.2 \end{bmatrix}$$

并且如果我们定义向量

$$M = \begin{bmatrix} A_{\text{Pb}} \ A_{\text{Fe}} \ A_{\text{Cu}} \ A_{\text{Mn}} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$$

则这些方程可以写成矩阵形式

$$M = AX$$

其中乘积按 (5.3) 中所解释的那样理解。该矩阵 $A$ 有四行三列，因此它是一个 $4 \times 3$ 矩阵。 $M$ 和 $X$ 是列向量；它们分别是 $4 \times 1$ 和 $3 \times 1$ 矩阵。

图 5.2
每千克矿石中各成分分数的表格。