在上述每个例子中，数组 A 和 B 以及向量 X 和 X' 都以自然的方式出现，且数组与向量的乘法方法是一致的。我们基于这一思想来一般性地定义矩阵。

5.2.1 定义

一个由实数组成的数组

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \quad (5.4)$$

被称为一个 矩阵，其阶数为 $m \times n$ ，具有 $m$ 个行和 $n$ 个列。元素 $a_{ij}$ 表示位于第 $i$ 行、第 $j$ 列的 元素。该元素可以是实数或复数（但在本章中我们主要讨论实矩阵）。如果 $m = n$ 则该数组是方形的，此时 A 被称为阶数为的 方阵 $n$ . 如果矩阵只有一列或一行

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{bmatrix} \quad \text{or} \quad \mathbf{c} = [c_1 \quad c_2 \quad \dots \quad c_n] \quad (5.5)$$

则它分别被称为列向量或行向量。行向量在前面曾被用作向量的基本定义（见第 4.2.2 节），但在矩阵理论中，除非另有说明，向量通常被视为列向量。向量理论与矩阵理论之间这种记号上的细微不一致可能带来不便，但它在文献中如此标准，以至于我们必须接受它。我们必须习惯向量以几种不同的记号出现。另一个常见的惯例是用大写字母表示矩阵，用小写字母表示向量。本章将采用这一惯例，但有一个例外：向量

$$\begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$$

将用 X 表示。（这里还通过字体进一步区分向量和矩阵：前者使用“衬线”粗体（例如 b），后者使用“无衬线”粗体（例如 A）。）作为所用记号的一个例子，考虑矩阵 A 和向量 b

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0.15 \ 1.11 \ -3.01 \end{bmatrix}$$

矩阵 A 是一个 $2 \times 3$ 矩阵，其元素为 $a_{11} = 0$ , $a_{12} = -1$ , $a_{13} = 2$ , $a_{21} = 3$ 等等。向量 b 是一个列向量，其元素为 $b_1 = 0.15$ , $b_2 = 1.11$ 和 $b_3 = -3.01$ .