这只是 (5.4) 中的矩阵将行与列互换后的结果。我们可以从 (5.5) 中注意到

$$\mathbf{b}^T = [b_1 \quad b_2 \quad \dots \quad b_m] \quad \text{and} \quad \mathbf{c}^T = \begin{bmatrix} c_1 \ c_2 \ \vdots \ c_n \end{bmatrix}$$

因此列向量转置后成为行向量，反之亦然。

如果一个方阵满足 $\mathbf{A}^T = \mathbf{A}$ 那么 $a_{ij} = a_{ji}$ ，因此其元素关于对角线对称。这样的矩阵称为对称矩阵；对称矩阵在许多计算中起着重要作用。如果 $\mathbf{A}^T = -\mathbf{A}$ ，即 $a_{ij} = -a_{ji}$ ，则该矩阵称为反对称矩阵或斜对称矩阵。显然，反对称矩阵的对角元素满足 $a_{ii} = -a_{ii}$ 因此必须全为零。

下面几个例子将说明这些定义：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \ 4 & 5 \end{bmatrix} \text{ is a } 3 \times 2 \text{ matrix}$$

$$\mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \ 3 & 2 & 5 \end{bmatrix} \text{ is a } 2 \times 3 \text{ matrix}$$

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \text{ is a symmetric } 3 \times 3 \text{ matrix}$$

$$\text{trace } \mathbf{B} = 1 + 3 + 5 = 9$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 & 7 & -1 \ -7 & 0 & 4 \ 1 & -4 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{C}^T = \begin{bmatrix} 0 & -7 & 1 \ 7 & 0 & -4 \ -1 & 4 & 0 \end{bmatrix} \text{ are skew-symmetric } 3 \times 3 \text{ matrices}$$

$$\mathbf{D} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \text{ is a } 3 \times 3 \text{ diagonal matrix}$$

$$\text{trace } \mathbf{D} = 2 + 3 + 4 = 9$$

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \text{ is the } 4 \times 4 \text{ unit matrix (sometimes written } \mathbf{I}_4 \text{)}$$