5.2.2 矩阵的基本运算

(a) 相等

两个矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 当且仅当它们的所有元素都相同， $a_{ij} = b_{ij}$ 对于 $1 \leq i \leq m$ , $1 \leq j \leq n$ ，则称它们是相等的，这种相等关系写作

$$\mathbf{A} = \mathbf{B}$$

注意，这要求两个矩阵必须是同阶的 $m \times n$ .

(b) 加法与减法

矩阵的加法很简单；我们只能将一个 $m \times n$ 矩阵与另一个 $m \times n$ 矩阵相加，和的元素是对应元素之和。如果 $\mathbf{A}$ 有元素 $a_{ij}$ 且 $\mathbf{B}$ 有元素 $b_{ij}$ 则 $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ 有元素 $a_{ij} + b_{ij}$ .

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots \ \vdots & \vdots & \vdots & \dots \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \dots \ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \dots \ \vdots & \vdots & \vdots & \dots \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} & \dots \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} & \dots \ \vdots & \vdots & \vdots & \dots \end{bmatrix}$$

类似地，对于减法， $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ 有元素 $a_{ij} - b_{ij}$ .

(c) 数乘

矩阵 $\lambda\mathbf{A}$ 有元素 $\lambda a_{ij}$ ；也就是说，我们只需将每个元素乘以该标量 $\lambda$

$$\lambda \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots \ \vdots & \vdots & \vdots & \dots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} & \dots \ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \lambda a_{23} & \dots \ \vdots & \vdots & \vdots & \dots \end{bmatrix}$$

(d) 转置的性质

由定义可知，矩阵的转置满足

$$(\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T$$

类似地，我们观察到

$$(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}$$