$$s + 4\mathbf{n} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 10 \ 2250 \ 1400 \ 9 \end{bmatrix}$$

需求的变化是

$$\mathbf{j} - \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \ 350 \ 200 \ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \ 250 \ 150 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 100 \ 50 \ 1 \end{bmatrix}$$

所需材料更少。

虽然这看起来是一个相当简单的例子，但其基本问题与任何需要零件供应的生产过程完全相同。

例 5.3

(a) 证明向量方程的唯一解

$$\alpha \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = 0$$

是 $\alpha = \beta = \gamma = 0$ 。

(b) 为 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 求出向量方程

$$\alpha \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} + \delta \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix} = 0$$

的一个非零解 解 (a) 改写为

$$\alpha \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha \ \alpha + \beta \ \alpha + \beta + \gamma \end{bmatrix} = 0$$

因此 $\alpha = 0$ , $\alpha + \beta = 0$ 且 $\alpha + \beta + \gamma = 0$ ，这些方程只有解 $\alpha = \beta = \gamma = 0$ 。

(b) 将四个行元素相加，它们全为零，得到方程

$$\alpha + \beta = 0$$

$$\alpha + 2\beta + \delta = 0$$