5.2.3 练习题

只要可能，请使用 MATLAB 核对你的答案。

1 给定矩阵

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = [0 \ 1 \ 1],$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \ 9 & 10 \end{bmatrix}$$

在可能的情况下求值，(a) $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ , (b) $\mathbf{b}^T + \mathbf{a}$ , (c) $\mathbf{b} + \mathbf{C}^T$ , (d) $\mathbf{C} + \mathbf{D}$ , (e) $\mathbf{D}^T + \mathbf{C}$ 。

2 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 2 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & -1 \ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

在三种情况下求 $\mathbf{C}$ 的值。

(a) $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$ (b) $2\mathbf{A} + 3\mathbf{C} = 4\mathbf{B}$

(c) $\mathbf{A} - \mathbf{C} = \mathbf{B} + \mathbf{C}$

3 求解矩阵 $\mathbf{X}$

$$\mathbf{X} - 2 \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \ 7 & 2 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}$$

4 若

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \ 5 & 0 & 2 \ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \ 4 & 2 & 5 \ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

$$\text{and } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2 \ 5 & 3 & 1 \ 2 & 5 & 4 \end{bmatrix}$$

(a) 证明

$$\text{trace}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \text{trace } \mathbf{A} + \text{trace } \mathbf{B}$$

(b) 求 $\mathbf{D}$ 使得 $\mathbf{A} + \mathbf{D} = \mathbf{C}$

(c) 验证结合律

$$(\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C} = \mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{C})$$

5 求下列方程中 $x, y, z$ 和 $t$ 的值

$$\begin{bmatrix} x & y - x + t \ t - z & z - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

6 求满足 $\alpha, \beta, \gamma$ 的

$$\alpha \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 3 \ -2 \end{bmatrix}$$

的值 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$ 7 (a) 证明向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 3 \ -2 \end{bmatrix}$ 是线性无关的。

(b) 证明向量

是线性相关的。

8 证明，对任意向量 $\begin{bmatrix} p \ q \ r \end{bmatrix}$ , 常数 $\alpha, \beta, \gamma$ 总是可以找到，使得

$$\begin{bmatrix} p \ q \ r \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

注意： 习题 7(b) 和 8 是一个一般性结论的特例，该结论是：给定三个 $3 \times 1$ 线性无关的向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 则任意 $3 \times 1$ 向量都可以写成 $\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c}$ 。

9 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + \mu \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + \nu \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

(a) 求 $\lambda, \mu, \nu$ 的值，使得 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$

(b) 证明当

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$$