10 名市场调研员正在测试顾客对五种产品的偏好。有四名调研员被分配到不同的组：调研员 $R_1$ 负责 40 岁以下的男性， $R_2$ 负责 40 岁以上的男性， $R_3$ 负责 40 岁以下的女性， $R_4$ 负责 40 岁以上的女性。他们以向量的形式返回调查结果，给出对某一特定产品有第一偏好的顾客数量。

求整个样本的平均值。公司决定主要目标群体是年长女性，因此按比例 $1 : 1 : 2 : 3$ 对调查结果加权；求加权平均值。

11 一家建筑商的材料堆场以向量的形式整理其库存

• A 型砖
• B 型砖
• 砖块 – C 型
• 袋水泥
• 吨沙子

当前库存， $\mathbf{S}$ 以及最低库存， $\mathbf{M}$ （为避免材料耗尽所需的最低库存），如下所示：

$$\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 45 & 750 \ 23 & 600 \ 17 & 170 \ 462 \ 27 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{M} = \begin{bmatrix} 5000 \ 4000 \ 3500 \ 100 \ 10 \end{bmatrix}$$

该公司有五辆卡车从库存中取料送货：1号卡车当天送货三次，每次载货量相同；2号卡车当天送货两次，每次载货量相同；其余卡车各送货一次。载货量为

$$\mathbf{L}_1 = \begin{bmatrix} 5500 \ 0 \ 3800 \ 75 \ 3 \end{bmatrix} \quad \mathbf{L}_2 = \begin{bmatrix} 2500 \ 1500 \ 0 \ 40 \ 2 \end{bmatrix} \quad \mathbf{L}_3 = \begin{bmatrix} 7500 \ 2000 \ 1500 \ 0 \ 3 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{L}_4 = \begin{bmatrix} 0 \ 4000 \ 2500 \ 20 \ 2 \end{bmatrix} \quad \mathbf{L}_5 = \begin{bmatrix} 2000 \ 0 \ 1500 \ 15 \ 0 \end{bmatrix}$$

库存中已用掉多少材料？当前库存状况如何？是否有任何一项已低于最低库存？

5.2.4 矩阵乘法

就实际应用而言，矩阵最重要的性质是一个矩阵乘以另一个矩阵。前面我们已非正式地看到乘法是如何产生的，以及如何定义矩阵与向量的乘法。通过再次考察坐标轴的变换，这一思想可以进一步推广。我们考虑平面内的三个坐标系，记为 $Ox_1x_2$ , $Oy_1y_2$ , $Oz_1z_2$ ，并通过如下图示的线性变换（映射）相互关联 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 如图 5.3 所示。

$$z_1 = a_{11}y_1 + a_{12}y_2, \quad y_1 = b_{11}x_1 + b_{12}x_2$$

$$z_2 = a_{21}y_1 + a_{22}y_2, \quad y_2 = b_{21}x_1 + b_{22}x_2$$

然后我们寻求表示 $z_1$ , $z_2$ 用 $x_1$ , $x_2$ 表达的复合变换。这可以通过直接代入来完成：

$$z_1 = (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})x_1 + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})x_2$$

$$z_2 = (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})x_1 + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})x_2$$