图 5.3
线性变换， $\mathbf{A}$ ，从 $Ox_1x_2$ 到 $Oy_1y_2$ 以及线性变换， $\mathbf{B}$ ，从 $Oy_1y_2$ 到 $Oz_1z_2$ 以及复合变换， $\mathbf{AB}$ ，从 $Ox_1x_2$ 到 $Oz_1z_2$ .

示意图

$$\begin{aligned} z_1 &= y_1 + 3y_2 \ z_2 &= 2y_1 - y_2 \ y_1 &= -x_1 + 2x_2 \ y_2 &= 2x_1 - x_2 \end{aligned}$$

代入得到

$$\begin{aligned} z_1 &= 5x_1 - x_2 \ z_2 &= -4x_1 + 5x_2 \end{aligned}$$

写成矩阵形式

$$\begin{aligned} \mathbf{A} &= \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & -1 \end{bmatrix} \ \mathbf{B} &= \begin{bmatrix} -1 & 2 \ 2 & -1 \end{bmatrix} \ \mathbf{AB} &= \begin{bmatrix} 5 & -1 \ -4 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

如果我们将前两个变换写作

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$$

那么复合变换可写作

$$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{bmatrix}$$

而这正是我们定义矩阵乘法的方式。

定义

若 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times p$ 矩阵，其元素为 $a_{ij}$ 以及 $\mathbf{B}$ a $p \times n$ 矩阵，其元素为 $b_{ij}$ 那么我们定义乘积 $\mathbf{C} = \mathbf{AB}$** 作为 $m \times n$ 分量为

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj} \quad \text{for } i = 1, \dots, m \quad \text{and} \quad j = 1, \dots, n$$

的矩阵。以图示形式， $i$ 的第 $\mathbf{A}$ 行与 $j$ 的第 $\mathbf{B}$ 列逐项相乘，将乘积相加得到 $ij$ 的第 $\mathbf{C}$ 个分量。这通常被称为乘法的“行乘列”方法。显然，要使乘法可行， $\mathbf{A}$ 必须具有 $p$ 列且 $\mathbf{B}$ 必须具有 $p$ 行，否则乘积 $\mathbf{AB}$ 没有定义。

$$i \rightarrow \begin{bmatrix} j \ \vdots \ c_{ij} \ \vdots \end{bmatrix} = i \rightarrow \begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ip} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1j} \ b_{2j} \ \vdots \ b_{pj} \end{bmatrix}$$