Example 5.4Given $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 3 \end{bmatrix},$$

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ -1 & 2 \ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

find (a) $\mathbf{AB}$ , (b) $\mathbf{BA}$ , (c) $\mathbf{Bb}$ , (d) $\mathbf{A}^T\mathbf{b}$ , (e) $\mathbf{c}^T(\mathbf{A}^T\mathbf{b})$ and (f) $\mathbf{AC}$ .Solution $$(a) \quad \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{row 1} \times \text{col 1} & \text{row 1} \times \text{col 2} \ \text{row 2} \times \text{col 1} & \text{row 2} \times \text{col 2} \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} (1)(2) + (1)(0) + (0)(1) & (1)(0) + (1)(1) + (0)(3) \ (2)(2) + (0)(0) + (1)(1) & (2)(0) + (0)(1) + (1)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 5 & 3 \end{bmatrix}$$

$$(b) \quad \mathbf{BA} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+0 & 2+0 & 0+0 \ 0+2 & 0+0 & 0+1 \ 1+6 & 1+0 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \ 2 & 0 & 1 \ 7 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$

(请注意 $\mathbf{BA}$ 不等于 $\mathbf{AB}$ .) $$(c) \quad \mathbf{Bb} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \ 2 \ 5 \end{bmatrix}$$

$$(d) \quad \mathbf{A}^T\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ -1 \ 2 \end{bmatrix}$$

$$(e) \quad \mathbf{c}^T(\mathbf{A}^T\mathbf{b}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \ -1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} = 0$$

(注意，这个矩阵是零 $1 \times 1$ matrix, 可以直接写成 0.) $$(f) \quad \mathbf{AC} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \ -1 & 2 \ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$$