Example 5.5 If $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}$$

evaluate (a) $\mathbf{X}^T \mathbf{X}$ , (b) $\mathbf{A} \mathbf{X}$ , (c) $\mathbf{X}^T (\mathbf{A} \mathbf{X})$ and (d) $\frac{1}{2} \mathbf{X}^T [(\mathbf{A}^T + \mathbf{A}) \mathbf{X}]$ .

Solution $$(a) \mathbf{X}^T \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = x^2 + y^2 + z^2$$

$$(b) \mathbf{A} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + 2y \ x + y \ 2x + y + z \end{bmatrix}$$

$$\begin{aligned} (c) \mathbf{X}^T (\mathbf{A} \mathbf{X}) &= \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x + 2y \ x + y \ 2x + y + z \end{bmatrix} = (x^2 + 2xy) + (yx + y^2) + (2xz + yz + z^2) \ &= x^2 + y^2 + z^2 + 3xy + 2xz + yz \end{aligned}$$

$$(d) \frac{1}{2} (\mathbf{A}^T + \mathbf{A}) = \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 1 \ \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \ 1 & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

and

$$\frac{1}{2} (\mathbf{A}^T + \mathbf{A}) \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 1 \ \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \ 1 & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + \frac{3}{2}y + z \ \frac{3}{2}x + y + \frac{1}{2}z \ x + \frac{1}{2}y + z \end{bmatrix}$$

Therefore

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \mathbf{X}^T [(\mathbf{A}^T + \mathbf{A}) \mathbf{X}] &= \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x + \frac{3}{2}y + z \ \frac{3}{2}x + y + \frac{1}{2}z \ x + \frac{1}{2}y + z \end{bmatrix} \ &= x^2 + y^2 + z^2 + 3xy + 2xz + yz \end{aligned}$$

(注意这与 (a) 小题的结果相同。 (c).)

从前面的例子中可以注意到以下几点. 单个元素的矩阵就是数, 所以方括号就变得多余，通常被省略。. The