Likewise $\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ -2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 3 & 6 & 7 \ -2 & -2 & -3 \end{bmatrix}$ and

$$(\mathbf{AB})\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 3 & 6 & 7 \ -2 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 \ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \ -21 & 28 \ 7 & -13 \end{bmatrix}$$

因此结合律对这三个矩阵成立。. 对于分配律，我们需要计算

$$(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \ -2 & 2 & 6 \ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 \ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 3 \ -24 & 4 \ -4 & 10 \end{bmatrix}$$

and

$$\begin{aligned} \mathbf{AC} + \mathbf{BC} &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ -2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 \ -3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \ -1 & 2 \ -3 & 1 \end{bmatrix} \ &= \begin{bmatrix} 0 & 2 \ -13 & -3 \ 5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 & 1 \ -11 & 7 \ -9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 3 \ -24 & 4 \ -4 & 10 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

两个矩阵相等, 因此分配律对这三个给定的矩阵得证。.

Example 5.8

证明变换

$$\begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$$

with $\theta = 60^\circ$ 将顶点为……的正方形映射 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ , and $\begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$ 到正方形上.

Solution 将给定的向量依次代入 $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$ 代入方程

$$\begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.8660 \ -0.8660 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$$