图 5.4
例 5.8 中正方形的变换。

我们求得以下向量，用于 $\begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix}$

$$\begin{bmatrix} 1.366 \ -0.366 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2.232 \ 0.134 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2.732 \ -0.732 \end{bmatrix} \text{ and } \begin{bmatrix} 1.866 \ -1.232 \end{bmatrix}$$

将这些点绘制在平面上，如图 5.4 所示，可以看到该正方形绕原点旋转了一个角度 $60^\circ$ 。验证该结果留作读者的练习。

这种类型的分析构成了在计算机屏幕上操作图形的基础，并被用于许多 CAD/CAM 场合中。

例 5.9

在量子力学中，电子自旋的分量可以用泡利矩阵来表示

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & -j \ j & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

证明

(a) 这些矩阵是反对易的：

$$\mathbf{AB} + \mathbf{BA} = 0, \quad \mathbf{BC} + \mathbf{CB} = 0, \quad \mathbf{CA} + \mathbf{AC} = 0$$