解 (a) $$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &ampauli & -j \ j & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} j & 0 \ 0 & -j \end{bmatrix}$$ 且 $\mathbf{BA} = \begin{bmatrix} 0 & -j \ j & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -j & 0 \ 0 & j \end{bmatrix}$ 因此 $$\mathbf{AB} + \mathbf{BA} = 0$$ 且另外两个粒子可类似地得出。

因此

AB + BA = 0

另外两个结果也可类似地得出。

(b) 由 (a) 可得

AB - BA = J j 0 0 -j R - J -j 0 0 j R = J 2j 0 0 -2j R = 2jC

同样，另外两个结果也可类似地得出。

(c) 这些结果可以直接由 (a) 得到，因为 AB 已经计算出来了，BC 和 CA 也可类似处理。

注：本例说明了含有复数元素的矩阵的用法。泡利（Pauli）发现矩阵 A、B 和 C 具有电子自旋分量所要求的性质 (a)、(b) 和 (c)。

例 5.10 需要将一块矩形场地平整，并确定需要移除的土方量。对场地按间距 10 m 的规则网格点进行了测量。各点相对于所需水平面的高度（以米为单位）如下表所示。

已知边长为 x、四个角点高度为 a、b、c 和 d 的一个单元的近似体积为

$$V V = \frac{1}{4}x^2(a + b + c + d)$$

将总近似体积写成矩阵形式，从而估算需要移除的体积。

解 注意，对于第一行单元，其体积为

25(0 + 0.31 +0.31 + 0.40 +0.40 + 0.45 +0.45 + 0.51 +0.51 + 0.60 +0.12 + 0.33 +0.33 + 0.51 +0.51 + 0.58 +0.58 + 0.66 +0.66 + 0.75)

= 25[0 + 2(0.31 + 0.40 + 0.45 + 0.51) + 0.60] + 25[0.12 + 2(0.33 + 0.51 + 0.58 + 0.66) + 0.75]

第二行和第三行单元可用类似方式处理，因此，在计算总体积时，需要将角点值乘以 1，其他边上的值乘以 2，中心值乘以 4。这个乘法运算可以按如下矩阵形式进行