$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0.31 & 0.40 & 0.45 & 0.51 & 0.60 \ 0.12 & 0.33 & 0.51 & 0.58 & 0.66 & 0.75 \ 0.19 & 0.38 & 0.60 & 0.69 & 0.78 & 0.86 \ 0.25 & 0.46 & 0.68 & 0.77 & 0.86 & 0.97 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 2 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

这可以通过将矩阵展开相乘来检验。检验可以很容易地借助符号运算软件包完成，例如 MATLAB 的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox），只需为矩阵代入一般符号，并验证矩阵相乘后各元素确实乘上了所述的因子。进行该计算并乘以 25，得到总体积为 $816.5 \text{ m}^3$ 。

类似的分析可以应用于其他情形——所需的只是实测高度以及计算机上的矩阵乘法程序，以处理所需的大量数据。对于其他网格形状，甚至不规则网格，方法类似，但相乘的向量需要仔细计算。

例 5.11

某承包商生产两种产品 $P_1$ 和 $P_2$ 。制造这些产品所需的四种部件被分包出去，每种部件由三种原料 $A$ , $B$ 和 $C$ 构成，如下所示：

每种原料的单位成本 $A$ , $B$ 和 $C$ 是 $a$ , $b$ 和 $c$ respectively。承包商生产产品 $P_1$ 需要组件 1 的 2 个、组件 2 的 3 个和组件 4 的 4 个，其组装成本为 15；产品 $P_2$ 需要组件 1 的 1 个、组件 2 的 1 个、组件 3 的 1 个和组件 4 的 2 个，其组装成本为 12。求承包商生产 $P_1$ 和 $P_2$ 的成本。如果 $a$ 增加到 $(a + 1)$ ，成本变化是多少？经发现，组件 1 所需的 5 个 $A$ 可以减少到 4 个。这对成本有什么影响？

解

所给信息可以自然地写成矩阵形式。设 $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ 和 $C_4$ 为分包商向总承包商收取的四个部件的费用，则成本 $C_1$ 计算为 $C_1 = 5a + 4b + 3c + 10$ 。该表达式是矩阵方程的第一行