$$\mathbf{A} \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{A} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} = \left(-\frac{1}{2}\right) \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$$

并证明 $2\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} + \mathbf{I}$ 。

(b) 通过反复应用此结果，还可证明对于任意整数 $n$

$$\mathbf{A}^n = \alpha \mathbf{A} + \beta \mathbf{I}$$

对于某个 $\alpha, \beta$ 。

解答

(a) 前两个结果可通过应用矩阵乘法得到；此类结果的重要性将在本章后面关于特征值的部分中看到。下一个结果成立是因为

$$\mathbf{A}^2 = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5 & -1 \ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{A} + \mathbf{I} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

因此 $2\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} + \mathbf{I}$ 。

(b) 为证明最后一个结果，注意乘以 $2\mathbf{A}$ 得到

$$4\mathbf{A}^3 = 2\mathbf{A}^2 + 2\mathbf{A} = (\mathbf{A} + \mathbf{I}) + 2\mathbf{A} = 3\mathbf{A} + \mathbf{I}$$

并重复该过程，乘以 $2\mathbf{A}$

$$8\mathbf{A}^4 = 6\mathbf{A}^2 + 2\mathbf{A} = 3(\mathbf{A} + \mathbf{I}) + 2\mathbf{A} = 5\mathbf{A} + 3\mathbf{I}$$

乘以 $2\mathbf{A}$ 并替换的过程 $2\mathbf{A}^2$ 乘 $(\mathbf{A} + \mathbf{I})$ 可以反复应用以得到最终结果。

例 5.13

求使矩阵 $x$ 成为对角矩阵的 $\mathbf{Z}^5$ 的值，其中

$$\mathbf{Z} = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \ 0 & x & 1 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

解答

虽然这个问题可以手工完成，但过程繁琐，因此给出 MATLAB 解法。

使用 MATLAB 的符号数学工具箱，命令

syms x

Z = [x 0 0; 0 x 1; 0 -1 0];

Z5 = Z^5; simplify(Z5);

生成该矩阵。附加命令

solve(1 - 3*x^2 + x^4); double(ans)

生成这些值

ans = 0.6180
    -1.6180
    1.6180
    -0.6180