5.2.7 习题

尽可能使用 MATLAB 检查习题答案。

19 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix},$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

在可能的情况下求值

$\mathbf{AB}, \mathbf{BA}, \mathbf{BC}, \mathbf{CB}, \mathbf{CA}, \mathbf{AC}$

20 对于矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

(a) 求 $(\mathbf{A} + \mathbf{B})^2$ 和 $\mathbf{A}^2 + 2\mathbf{AB} + \mathbf{B}^2$

(b) 求 $(\mathbf{A} + \mathbf{B})(\mathbf{A} - \mathbf{B})$ 和 $\mathbf{A}^2 - \mathbf{B}^2$

用矩阵重复上述计算

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 5 & 2 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \ -5 & 1 \end{bmatrix}$$

并解释两组结果之间的差异。

21 证明对于方阵 $(\mathbf{A}^2)^T = (\mathbf{A}^T)^2$ 。

22 证明 $\mathbf{AA}^T$ 是对称矩阵。

23 求所有与 $2 \times 2$ 可交换（即 n， $\mathbf{AB} = \mathbf{BA}$ ）的 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 矩阵。

24 一个具有 $m$ 行和 $n$ 列的矩阵称为 $m \times n$ 型矩阵。给出简单的矩阵例子 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 来说明以下情形：

(a) $\mathbf{AB}$ 已定义但 $\mathbf{BA}$ 未定义；

(b) $\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{BA}$ 均已定义但类型不同；

(c) $\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{BA}$ 均已定义且类型相同但不相等。

25 给定

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \ 2 & -1 & 0 \ 1 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$

确定一个对称矩阵 $\mathbf{C}$ 和一个反对称矩阵 $\mathbf{D}$ 使得

$$\mathbf{A} = \mathbf{C} + \mathbf{D}$$

26 给定矩阵

$$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 11 \ 0 \ 2 \end{bmatrix} \quad \text{and}$$

$$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \ -1 & 7 & -3 \ -1 & 3 & 5 \end{bmatrix}$$

求……的元素 $\mathbf{G}$ 其中

$$(\mathbf{ab})\mathbf{I} + \mathbf{C}^2 = \mathbf{C}^T + \mathbf{G}$$

和 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵。

27

一家公司将员工分为四类：焊工、装配工、设计师和管理人员。据估计，对于三种主要产品，每件产品所花费的时间（单位：小时）如下面的矩阵所示。

已知工资、养老金缴纳和管理费用（单位：英镑/小时）如下：

将问题写成矩阵形式，并利用矩阵乘积求生产 10 台锅炉、25 个水箱和 35 个框架的总成本。

28 已知

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 1 & 2 \ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{A}^3 - \mathbf{A}^2 - 3\mathbf{A} + \mathbf{I} = 0$$