29 已知

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 0 \ -2 & 6 & 2 \ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$$

证明

$$\mathbf{X}^T \mathbf{A} \mathbf{X} = 27 \quad (5.6)$$

意味着

$$5x_1^2 + 6x_2^2 + 7x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_2x_3 = 27$$

在变换

$$\mathbf{X} = \mathbf{B}\mathbf{Y}$$

证明 (5.6) 变为

$$\mathbf{Y}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{Y} = 27$$

如果

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 2 \ -1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \end{bmatrix}$$

求 $\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$ ，并由此证明

$$y_1^2 + 2y_2^2 + 3y_3^2 = 1$$

30

一个著名的问题涉及一个虚构的国家，该国有三个城市 A、B 和 C，总人口为 2400。规定每年年末所有人都必须迁往另一个城市，一半迁往其中一个城市，另一半迁往另一个城市。如果 $a$ , $b$ 和 $c$ 分别为城市 A、B 和 C 的人口，证明第二年的人口由下式给出

$$\begin{bmatrix} a' \ b' \ c' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix}$$

假设这三个城市的初始人口分别为 600、800 和 1000，那么十年后以及很长时间后的人口是多少（使用 MATLAB 之类的软件包进行计算是理想的选择）？（注意，这个例子是马尔可夫链问题的一个版本。马尔可夫链在科学和工程的许多领域都有应用。）

31

求 $h$ , $k$ , $l$ 和 $m$ 的值，使得 $\mathbf{A} \neq 0$ , $\mathbf{B} \neq 0$ , $\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$ , $\mathbf{B}^2 = \mathbf{B}$ 和 $\mathbf{A}\mathbf{B} = 0$ ，其中

$$\mathbf{A} = h \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and}$$

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} k & -l & -l \ -l & m & m \ -l & m & m \end{bmatrix}$$

32

一个电脑屏幕的尺寸为 $20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}$ 。坐标轴设置在屏幕中心，如图 5.5 所示。一个包含箭头的盒子尺寸为 $2 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}$ ，其中心位于点 $(-16, 10)$ 。首先将它旋转 $45^\circ$ 沿逆时针方向。将此变换表示为以下形式

$$\begin{bmatrix} x' + 16 \ y' - 10 \end{bmatrix} = \mathbf{A} \begin{bmatrix} x + 16 \ y - 10 \end{bmatrix}$$

图 5.5 第 32 题中计算机屏幕的操作。

旋转后的方框现在被移动到新位置，其中心位于 $(16, -10)$ 。将整体变换表示为以下形式

$$\begin{bmatrix} x'' \ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} + \mathbf{B} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$$

33

给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$