5.3 行列式

行列式的概念与方阵密切相关，并且对求解线性方程组至关重要。本节我们主要讨论 $2 \times 2$ 阶和 $3 \times 3$ 阶行列式。

给定方阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

的行列式，记作 $\mathbf{A}$ 或 $\det \mathbf{A}$ ，由下式给出 $|\mathbf{A}|$ 对于

$$|\mathbf{A}| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \quad (5.7)$$

矩阵 $3 \times 3$ 这称为行列式按第一行的展开。

一个 $\mathbf{B}$

$$|\mathbf{B}| = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \quad (5.8)$$

的行列式 $1 \times 1$ 矩阵， $\mathbf{A} = [a]$ ，只有一个元素 $a$ 就是它的那个元素本身。因此

$$|\mathbf{A}| = a$$

必须将其与 mod 区分开 $a$ 后者也写作 $|a|$ .

例 5.14

计算三阶行列式

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ -1 & 0 & 3 \ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$

解

按 (5.8) 沿第一行展开，我们得到

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \ -1 & 0 & 3 \ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} &= 1 \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 1 & -2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 3 \ 3 & -2 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 3 & 1 \end{vmatrix} \ &= 1[(0)(-2) - (1)(3)] - 2[(-1)(-2) - (3)(3)] \ &\quad + 4[(-1)(1) - (3)(0)] \quad (\text{using (5.7)}) \ &= 1(-3) - 2(-7) + 4(-1) \ &= 7 \end{aligned}$$

如果我们取一个行列式并删除第 $i$ 行和第 $j$ 列，那么剩下的行列式称为余子式 $M_{ij}$ . 一般情况下，我们可以取任意一行（或一列）并计算一个 $n \times n$ 行列式 $|\mathbf{A}|$ 如下

$$|\mathbf{A}| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} \quad (5.9)$$