行列式对任意都相同这一事实 $i$ 需要详细证明。(5.8) 中的行列式正是 (5.9) 的展开式，其中 $i = 1$ 和 $n = 3$ 并且给出了按第一行展开的展开式。

与子式相关的符号由下表给出

+−+−+ −+−+− +−+−+ K K K M MM M M

乘以相应符号后的子式称为该元素的代数余子式，因此 $A_{ij}$ 从而

$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

例 5.15 求行列式与第一行相关的子式和代数余子式，并据此计算该行列式。

解

$$|\mathbf{A}| = \sum_j a_{ij} A_{ij}$$

元素

的子式为

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 5 \ 6 & -4 & 2 \ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} -4 & 2 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = -4 - (-2) = -2$$

的子式为 $a_{11}$ 的子式为 $M_{11} = -2$ 和余因子 $A_{11} = -2$ .

$$\begin{vmatrix} 3 & & & 5 \ 6 & & & 2 \ 2 & - & & 1 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 6 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2$$

元素 $a_{12}$ 的子式为 $M_{12} = 2$ 和余因子 $A_{12} = -2$ .

$$\begin{vmatrix} 5 & 4 \ 6 & -4 \ 2 & -1 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 6 & -4 \ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2$$

元素 $a_{13}$ 的子式为 $M_{13} = 2$ 和余因子 $A_{13} = 2$ 。因此行列式为

|A| = 3 × (−2) + 4 × (−2) + 5 × 2 = −4

可以验证，沿任意一行（或一列）展开都会得到相同的结果，但需注意使用正确的符号。