我们可以利用性质 (a)–(e) 来减少计算行列式所需的运算量。我们在某一行或某一列中引入尽可能多的零，然后沿该行或该列展开。

例 5.18 计算

计算

$$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1+a & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1+b & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

解

$$D = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & a & 0 & 0 \ 1 & 0 & b & 0 \ 1 & 0 & 0 & c \end{vmatrix} \quad (\text{by subtracting col 1 from col 2, col 3 and col 4})$$

$$= 1 \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \ 0 & b & 0 \ 0 & 0 & c \end{vmatrix} \quad (\text{by expanding by the top row})$$

$$= a \begin{vmatrix} b & 0 \ 0 & c \end{vmatrix} = abc$$

使用 MATLAB 的符号数学工具箱，命令 syms a b c E = sym([1 1 1 1; 1 1+a 1 1; 1 1 1+b 1; 1 1 1 1+c]); det(E)

返回答案 abc。

需要特别注意的一点是关于大型行列式；它们的计算极其困难且耗时（使用基本定义 (5.9) 计算一个 $n \times n$ 阶行列式需要 $n!(n - 1)$ 次乘法）。即使对计算机来说这也是一个问题——实际上计算机使用的是其他方法。只要有可能，就应避免计算大型行列式。不过，它们在矩阵理论中确实起着核心作用。

前面定义的余因子 $A_{11}, A_{12}, \dots$ 具有如下性质：

$$|\mathbf{A}| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$$

考虑表达式 $a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13}$ 。用行列式形式表示，我们有

$$a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} = a_{21} a_{22} a_{23} = 0$$