因为有两行完全相同。类似地，

$$a_{31}A_{11} + a_{32}A_{12} + a_{33}A_{13} = 0$$

一般可以证明

$$\sum_k a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} |\mathbf{A}| & \text{if } i = j \ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases} \quad (5.10)$$

并且，按列展开可得

$$\sum_k a_{ki}A_{kj} = \begin{cases} |\mathbf{A}| & \text{if } i = j \ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases} \quad (5.11)$$

一个数值例子可以说明这些要点。

例 5.19

通过矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 6 & 5 & 4 \ 7 & 8 & 1 \end{bmatrix}$$

解 余因子计算如下

$$A_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 4 \ 8 & 1 \end{vmatrix} = -27, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 6 & 4 \ 7 & 1 \end{vmatrix} = 22, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 6 & 5 \ 7 & 8 \end{vmatrix} = 13$$

并以同样的方式继续

$$A_{21} = 22, \quad A_{22} = -20, \quad A_{23} = 6, \quad A_{31} = -7, \quad A_{32} = 14 \text{ and } A_{33} = -7$$

(5.10) 中的一部分计算，即按行展开，为

$$a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = 1 \times (-27) + 2 \times 22 + 3 \times 13 = 56$$

$$a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13} = 6 \times (-27) + 5 \times 22 + 4 \times 13 = 0$$

$$a_{31}A_{21} + a_{32}A_{22} + a_{33}A_{23} = 7 \times 22 + 8 \times (-20) + 1 \times 6 = 0$$

(5.11) 中的一部分计算，即按列展开，为

$$a_{11}A_{12} + a_{21}A_{22} + a_{31}A_{32} = 1 \times 22 + 6 \times (-20) + 7 \times 14 = 0$$

$$a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32} = 2 \times 22 + 5 \times (-20) + 8 \times 14 = 56$$

$$a_{13}A_{11} + a_{23}A_{21} + a_{33}A_{31} = 3 \times (-27) + 4 \times 22 + 1 \times (-7) = 0$$

(5.10) 和 (5.11) 中的其他展开可以在本例中验证。可以注意到该矩阵的行列式为 56。