一个具有特别有趣性质的矩阵是伴随矩阵（adjoint 或 adjugate matrix），它被定义为余子式矩阵的转置；也就是说，

$$\text{adj } \mathbf{A} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \ A_{21} & A_{22} & A_{23} \ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^T \quad (5.12)$$

如果我们现在计算 A (adj A)，可得

$$\begin{aligned} [\mathbf{A} \text{ (adj } \mathbf{A})]{ij} &= \sum_k a{ik} \text{ (adj } \mathbf{A}){kj} = \sum_k a{ik} A_{jk} \ &= \begin{cases} |\mathbf{A}| & \text{if } i = j \ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases} \quad (\text{from (5.10)}) \end{aligned}$$

于是

$$\mathbf{A}(\text{adj } \mathbf{A}) = \begin{bmatrix} |\mathbf{A}| & 0 & 0 \ 0 & |\mathbf{A}| & 0 \ 0 & 0 & |\mathbf{A}| \end{bmatrix} = |\mathbf{A}| \mathbf{I} \quad (5.13)$$

这样我们就发现了一个矩阵，它与 A 相乘会得到一个标量乘以单位矩阵。

若 A 是 n 阶方阵，则对 (5.13) 两边取行列式，得

$$|\mathbf{A}| |\text{adj } \mathbf{A}| = |\mathbf{A}(\text{adj } \mathbf{A})| = ||\mathbf{A}| \mathbf{I}_n| = |\mathbf{A}|^n$$

如果 $|\mathbf{A}| \neq 0$ ，则可推出

$$|\text{adj } \mathbf{A}| = |\mathbf{A}|^{n-1} \quad (5.14)$$

这一结果被称为柯西定理（Cauchy's theorem）。

同样成立的是

$$\text{adj}(\mathbf{AB}) = (\text{adj } \mathbf{B})(\text{adj } \mathbf{A})$$ (5.15)

因此在取乘积的伴随矩阵时，顺序要颠倒。

一个重要的记号，它对线性方程组的求解有重要意义，涉及矩阵的行列式是否为零。一个方阵 $\mathbf{A}$ 被称为非奇异的（non-singular），如果 $|\mathbf{A}| \neq 0$ 被称为奇异的（singular），如果 $|\mathbf{A}| = 0$ .