例 5.21 已知

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 0 & 1 \ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

求 adj A 并证明 A(adj A) = (adj A)A = |A|I。

解 余子式矩阵为

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} & 0 \ 1 & 1 & -\frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{3} & 1 \ -\frac{1}{1} & \frac{2}{1} & \frac{1}{3} & \frac{2}{1} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{1} \ \frac{1}{1} & \frac{2}{1} & -\frac{1}{2} & \frac{2}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \ 1 & -5 & 2 \ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}$$

因此，由 (5.12) 得

$$(\text{adj } \mathbf{A})\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 & 2 \ 1 & -5 & 3 & 2 & 0 \ 2 & 2 & -2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{A}(\text{adj } \mathbf{A}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 0 & 1 \ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \ -5 & 3 & -2 \ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$

$$\text{adj } \mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \ 1 & -5 & 2 \ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \ 1 & -5 & 3 \ 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$

由于 $|\mathbf{A}| = 4$ 最后一个结果随之得证。

在 MATLAB 中检验以下命令

A = [1 1 2; 2 0 1; 3 1 1];

$$A = (A)$$