5.3.1 Exercises

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案.

34 求下列行列式的所有余子式和代数余子式

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

因此求行列式.

35 求下列矩阵的行列式:

(a) $\begin{bmatrix} 1 & 7 \ 4 & 9 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \ 2 & -4 & 1 \ 3 & 2 & -6 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \ 4 & 2 & 9 \ 1 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ (d) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

(e) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \ 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

36 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

determine $|\mathbf{A}|$ , $|\mathbf{A}\mathbf{A}^T|$ , $|\mathbf{A}^2|$ and $|\mathbf{A} + \mathbf{A}|$ .

37 寻找一系列行变换，使得

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \text{ to } -\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} \text{ and hence evaluate}$$

行列式.

38 Determine $\text{adj } \mathbf{A}$ when

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$$

39 Determine $\text{adj } \mathbf{A}$ when

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \ 3 & 2 & 2 \ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

验证一下 $\mathbf{A}(\text{adj } \mathbf{A}) = (\text{adj } \mathbf{A})\mathbf{A} = |\mathbf{A}|\mathbf{I}$ .

40 对于矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

evaluate $|\mathbf{A}|$ , $\text{adj}(\mathbf{A})$ , $\mathbf{B} = \frac{\text{adj}(\mathbf{A})}{|\mathbf{A}|}$ and $\mathbf{A}\mathbf{B}$ .

41 证明矩阵

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 3 & 4 & 0 \ 6 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$

是非奇异的，并验证柯西定理, namely $|\text{adj } \mathbf{B}| = |\mathbf{B}|^2$ .

42 If $|\mathbf{A}| = 0$ 由此推出 $|\mathbf{A}''| = 0$ 对任意整数 $n$ .

43 Given

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \ -4 & 3 & -1 \ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \text{ and}$$

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 3 & 4 & 0 \ 6 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$

验证 $\text{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = (\text{adj } \mathbf{B})(\text{adj } \mathbf{A})$ .

44 求下列各式的值： $\lambda$ 使得下列行列式为零: