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| (c) | 0 | $2 - \lambda$ | 0 |
|---|---|---|---|
| $2 - \lambda$ | 4 | 1 | |
| 2 | -3 | $\lambda - 4$ |
| 1 | $3 - \lambda$ | 4 | |
|---|---|---|---|
| (b) | $4 - \lambda$ | 2 | -1 |
| 1 | $\lambda - 6$ | 2 |
$$(a) \quad \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 7 \ 4 & 6 - \lambda \end{vmatrix}$$
45 求方阵行列式的值
$$\begin{array}{cccc} & \begin{bmatrix} 5 & 4 & 1 & 1 \ 4 & 5 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 4 & 2 \ 1 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \end{array}$$
| $\begin{bmatrix} 0.42 & 0.31 & -0.16 \ 0.17 & -0.22 & 0.63 \ 0.89 & 0.93 & 0.41 \end{bmatrix}$ | |
|---|---|
46 证明顶点为 $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ 和 $(x_3, y_3)$ 的三角形面积由以下绝对值给出
$$\begin{array}{c|c} 1 & x_1 \ \hline 1 & x_2 \ \hline 1 & x_3 \end{array}$$
参考习题 4.2.11 中的第 46 题以及 4.2.10 节中向量积的定义。
47 证明 $x + x^2 - 2x^3$ 是行列式 $D$ 的一个因子，其中
| $0$ | $x$ | $2$ | $x^2$ | |
|---|---|---|---|---|
| $D =$ | $-x$ | $0$ | $1$ | $x^3$ |
| $-x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | |
| $-x^2$ | $-x^3$ | $-1$ | $0$ |
，从而将 $D$ 表示为线性因子的乘积。
48 证明
$$\begin{vmatrix} x & a & b \ x^2 & a^2 & b^2 \ a+b & x+b & x+a \end{vmatrix} = (b-a)(x-a)(x-b)(x+a+b)$$
S利用符号计算软件包（如 MAPLE 或 MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox），本题可以用两行代码求解。
49 验证若 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵 $\mathbf{A}$ 。
50 若 $\mathbf{A}$ 是反对称 $n \times n$ 矩阵，验证 adj $\mathbf{A}$ 是对称的还是反对称的，取决于 $n$ 是奇数还是偶数。
5.4 逆矩阵
前面我们构造了 adj A，并看到它相对于单位矩阵有一些有趣的性质（见 5.3 节）。我们还在例 5.6 中看到，如果我们能构造出 B 使得 AB = I，就有一种求解线性方程组的方法。这些想法可以结合起来，为线性方程组的求解提供一个完整的理论，我们稍后将对此进行讨论（见 5.5 节）。
给定一个方阵 $\mathbf{A}$ ，如果我们能构造一个矩阵 $\mathbf{B}$ 使得
BA = AB = I
A(adj A) = |A|I