这样我们在构造逆矩阵的路上已经走了很远。我们有两种情况：

• 如果 $\mathbf{A}$ 是非奇异的，那么 $|\mathbf{A}| \neq 0$ 并且

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{\text{adj } \mathbf{A}}{|\mathbf{A}|}$$

• 如果 $\mathbf{A}$ 是奇异的，那么 $|\mathbf{A}| = 0$ 并且可以证明逆矩阵 $\mathbf{A}^{-1}$ 不存在。

如果逆矩阵存在，那么它是唯一的。假设对于给定的 $\mathbf{A}$ 我们有两个逆矩阵 $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{C}$ . 那么

$$\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}, \quad \mathbf{AC} = \mathbf{CA} = \mathbf{I}$$

因此

$$\mathbf{AB} = \mathbf{AC}$$

左乘 $\mathbf{C}$ ，我们得到

$$\mathbf{C}(\mathbf{AB}) = \mathbf{C}(\mathbf{AC})$$

但矩阵乘法满足结合律，所以我们可以将其写为

$$(\mathbf{CA})\mathbf{B} = (\mathbf{CA})\mathbf{C}$$

于是

$$\mathbf{IB} = \mathbf{IC} \quad (\text{since } \mathbf{CA} = \mathbf{I})$$

所以

$$\mathbf{B} = \mathbf{C}$$

因此逆矩阵是唯一的。

应当注意，如果 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 都是方阵，那么 $\mathbf{AB} = \mathbf{I}$ 当且仅当 $\mathbf{BA} = \mathbf{I}$ .

例 5.22

求 $\mathbf{A}^{-1}$ 和 $\mathbf{B}^{-1}$ 对于矩阵

$$(a) \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 3 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad (b) \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 4 \ 3 & -1 & 2 \ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$$

解

$$(a) \text{adj } \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 & -2 \ -2 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad |\mathbf{A}| = -1$$

使得

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{\text{adj } \mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \ 2 & -1 \end{bmatrix}$$