$$\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{0} \quad \text{or} \quad \mathbf{X} = \mathbf{0}$$

因此我们只有平凡解 $\mathbf{X} = \mathbf{0}$ 。

情形 (c) $b \neq 0$ 和 $|\mathbf{A}| = 0$

逆矩阵不存在，这也许是最复杂的情形。我们有两种可能：要么无解，要么有无穷多解。一个简单的例子可以说明这种情况。方程组

$$\begin{cases} 3x + 2y = 2 \ 3x + 2y = 6 \end{cases}, \quad \text{or} \quad \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 6 \end{bmatrix}$$

显然是不相容的，不存在解。然而，在

$$\begin{cases} 3x + 2y = 2 \ 6x + 4y = 4 \end{cases}, \quad \text{or} \quad \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 6 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$$

的情形下，其中一个方程是另一个方程的倍数，我们有无穷多解： $x = \lambda$ , $y = 1 - \frac{3}{2}\lambda$ 对于 $\lambda$ 的任意取值都是一个解。

对于涉及两个以上变量的问题也会观察到同样的情况，但此时情形要难以分析得多。关于方程组是否有解的判定问题将在后面讨论（见第 5.6 节）。

情形 (d) $b = 0$ 和 $|\mathbf{A}| = 0$

与情形 (c) 一样，我们有无穷多解。例如，两个方程的情形具有如下形式

$$px + qy = 0$$

$$\alpha px + \alpha qy = 0$$

使得 $|\mathbf{A}| = 0$ 并且我们求得一个解 $x = \lambda$ , $y = -p\lambda/q$ 如果 $q \neq 0$ 。如果 $q = 0$ 那么 $x = 0$ , $y = \lambda$ 是一个解。

这一情形是最重要的情形之一，因为我们可以由此推导出一个重要的普遍结论：方程

$$\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{0}$$

当且仅当 $|\mathbf{A}| = 0$ 时才有非平凡解。

这个普遍结论将在 5.6 节中进一步讨论，该节将研究矩阵的秩。

例 5.25

将这五组方程写成矩阵形式，并判断它们有解还是没有解。