解答 (a) 用矩阵形式表示，方程组为 $\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ -5 \end{bmatrix}$ 。该矩阵的行列式

的值为 $-5$ 且右端项非零，因此问题属于情形 (a)，从而有唯一解，即 $x = 1$ , $y = 3$ 。

(b) 用矩阵形式表示，方程组为 $\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ 。该矩阵的行列式

的值为 $-5$ 且此时右端项为零，因此问题属于情形 (b)，从而只有平凡解，即 $x = 0$ , $y = 0$ 。

(c) 用矩阵形式表示，方程组为 $\begin{bmatrix} -3 & 6 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \ -5 \end{bmatrix}$ 。此时矩阵的行列式为零且右端项非零，因此问题属于情形 (c)，从而求解不那么容易。本质上，第一个方程只是第二个方程的 $(-3)$ 倍，因此可以求出解。稍作整理很快可得，对任意 $x = 2t - 5$ , $y = t$ $t$ ,因此该方程组有无穷多解。

(d) 用矩阵形式表示方程组为 $\begin{bmatrix} -3 & 6 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \ -5 \end{bmatrix}$ 。该矩阵的行列式

再次为零，而右端项非零，所以问题再次属于情形 (c) 类型，因此求解不那么容易。第一个方程的左端是第二个方程的 $(-3)$ 倍，但右端只是第二个方程的 $(-2)$ 倍，所以方程组不相容，该方程组无解。

(e) 用矩阵形式表示方程组为 $\begin{bmatrix} -3 & 6 \ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$ 。该矩阵的行列式

再次为零，且右端项也为零，所以问题属于情形 (d) 类型，因此可以找到非平凡解。可以看出， $x = 2s$ 和 $y = s$ 对任意 $s$ .

都给出解。

例 5.26

求

$$x + y + z = 6$$

$$x + 2y + 3z = 14$$

$$x + 4y + 9z = 36$$

的一个解。

解 将方程组表示为矩阵形式 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ 1 & 4 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \ 14 \ 36 \end{bmatrix}$$