我们有

|| A == =≠ 11 1 12 3 14 9 10 0 11 2 13 8 20（将第 1 列从第 2 列和第 3 列中减去）

因此解确实存在且唯一。A 的逆矩阵可以计算为

$$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \ -3 & 4 & -1 \ 1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

因此，由 (5.19) 可得，

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \mathbf{A}^{-1} \begin{bmatrix} 6 \ 14 \ 36 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$$

所以解为 $x = 1, y = 2$ 以及 $z = 3$ 。

例 5.27 求使方程组 $k$ 具有非平凡解的

$$x + 5y + 3z = 0$$

$$5x + y - k_Z = 0$$

$$x + + 2y + k_Z = 0$$

的值。

解 系数矩阵为

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \ 5 & 1 & -k \ 1 & 2 & k \end{bmatrix}$$

对于非零解， $|\mathbf{A}| = 0$ 。因此

$$0 = |\mathbf{A}| = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \ 5 & 1 & -k \ 1 & 2 & k \end{vmatrix} = 27 - 27k$$

因此，方程组在以下情况下有非平凡解： $k = 1$ ；若 $k \neq 1$ ，则唯一解为 $x = y = z = 0$ 。对于 $k = 1$ ，简单计算可得 $x = \lambda$ , $y = -2\lambda$ 以及 $z = 3\lambda$ 对任意 $\lambda$ .

$$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})X = 0$$