有非平凡解，给定

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \ -2 & 0 \end{bmatrix}$$

解 我们要求

$$\begin{aligned} 0 &= |\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 1 \ -2 & -\lambda \end{vmatrix} \ &= -3\lambda + \lambda^2 + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1) \end{aligned}$$

仅当以下条件成立时才出现非平凡解 $\lambda = 1$ 或 2。

如果 $\lambda = 1$ ,

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = 0, \quad \text{so } \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 \ -2 \end{bmatrix} \quad \text{for any } \alpha$$

如果 $\lambda = 2$ ,

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \ -2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = 0, \quad \text{so } \mathbf{X} = \beta \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \beta \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix} \quad \text{for any } \beta$$

（注： 这里描述的问题是一个重要的问题。 $\lambda$ 和 $\mathbf{X}$ 被称为特征值和特征向量，将在后面的 5.7 节中介绍。）

可以用矩阵的余因子显式地写出一组方程组的解。然而，作为计算解的方法，这是极其低效的；例如，一个包含十个方程的方程组将需要 $4 \times 10^8$ 次乘法——即使在现代计算机上也需要很长时间。不过，该方法在理论上具有重大意义。考虑方程组

$$\left. \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 &= b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 &= b_2 \ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 &= b_3 \end{aligned} \right} \quad (5.20)$$

将系数矩阵记为 $\mathbf{A}$ 并回顾 5.3 节中余子式的定义，我们将方程分别乘以 $A_{11}$ , $A_{21}$ 和 $A_{31}$ 然后相加，得到

$$\begin{aligned} &(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31})x_1 + (a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31})x_2 \ &\quad + (a_{13}A_{11} + a_{23}A_{21} + a_{33}A_{31})x_3 \ &= b_1A_{11} + b_2A_{21} + b_3A_{31} \end{aligned}$$