利用 (5.11)，我们得到

$$|\mathbf{A}|x_1 + 0x_2 + 0x_3 = b_1A_{11} + b_2A_{21} + b_3A_{31}$$

右端可以写成一个行列式，因此

$$|\mathbf{A}|x_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \ b_2 & a_{22} & a_{23} \ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

其余的 $x_i$ 可类似地推导，于是我们得到 克拉默法则（Cramer's rule），即 (5.20) 的解为

$$x_1 = |\mathbf{A}|^{-1} \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \ b_2 & a_{22} & a_{23} \ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},$$

$$x_2 = |\mathbf{A}|^{-1} \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \ a_{21} & b_2 & a_{23} \ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix},$$

$$x_3 = |\mathbf{A}|^{-1} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & b_2 \ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}$$

前提是 $|\mathbf{A}| \neq 0$ 。再次应当强调，由于计算行列式所需的工作量很大，这一法则不应作为计算方法使用。它还会表现出数值不稳定性。

例 5.29

已知函数 $u(x, y)$ 在点 $u_1$ , $u_2$ 和 $u_3$ 处取值 $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ 和 $(x_3, y_3)$ 分别。求线性插值函数

$$u = a + bx + cy$$

在以这三个点为顶点的三角形内。

解 为了将数据拟合到线性插值函数

$$\begin{aligned} u_1 &= a + bx_1 + cy_1 & \begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \ 1 & x_2 & y_2 \ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix} \ u_2 &= a + bx_2 + cy_2 & \text{or in matrix form} & \ u_3 &= a + bx_3 + cy_3 & \end{aligned}$$

的值 $a$ , $b$ 和 $c$ 可以通过克拉默法则求得

$$a = \begin{vmatrix} u_1 & x_1 & y_1 \ u_2 & x_2 & y_2 \ u_3 & x_3 & y_3 \end{vmatrix} / \det(\mathbf{A}), \quad b = \begin{vmatrix} 1 & u_1 & y_1 \ 1 & u_2 & y_2 \ 1 & u_3 & y_3 \end{vmatrix} / \det(\mathbf{A}) \quad \text{and}$$