$$c = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & u_1 \ 1 & x_2 & u_2 \ 1 & x_3 & u_3 \end{vmatrix} / \det(\mathbf{A})$$

其中 $\mathbf{A}$ 是系数矩阵。插值公式现已得出。在有限元分析中，求值插值函数（如上所述的函数）非常重要。有限元是工程各领域许多大规模计算的核心；配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》第 9 章给出了相关介绍。

例 5.30

求解矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{c}$ 其中

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 4 \ 3 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

解

这类问题的求解超出了手工计算的范围；克拉默法则、求伴随矩阵以及直接求逆矩阵都不可行。即使下一节中更实用的方法，在尝试手工计算时也难以处理这种规模的问题。必须使用计算机软件包。MATLAB 中给出了相关指令。

b = zeros (10, 10);
for i = 1 : 9, b (i, i) = 4; b (i, i + 1) = 1; b (i + 1, 1)
  = 1; end
b (10, 10) = 4;
c = [1; 2; 3; 4; 5; 5; 4; 3; 2; 1];
b\c

给出解

0.1685 0.3258 0.5282 0.7188 0.9563 1.0063 0.8063
0.6064 0.4059 0.2079