5.5.1 Exercises

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60 求解矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ 对于向量 $\mathbf{X}$ 在下面:

$$(a) \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & -2 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 8 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$(b) \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & -1 & 0 \ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \ 6 \ -6 \end{bmatrix}$$

$$(c) \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 3 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = -\begin{bmatrix} 3 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$(d) \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \ 11 \ 7 \ 1 \end{bmatrix}$$

61 If

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$$

证明

$$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$$

从而解出向量 $\mathbf{X}$ 在方程中

$$\begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{8} & -\sin \frac{\pi}{8} \ \sin \frac{\pi}{8} & \cos \frac{\pi}{8} \end{bmatrix} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} \ \sin \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$$

62 求解复矩阵方程

$$\begin{bmatrix} 1 & j & 0 \ 0 & 1 & 0 \ j & 0 & j \end{bmatrix} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

63 求矩阵的逆

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -2 \ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix}$$

从而解方程

$$-x + 2y + z = 2$$

$$y - 2z = -3$$

$$x + 4y - z = 4$$

64 证明存在两个值使得 $\alpha$ 使得方程

$$\alpha x - 3y + (1 + \alpha)z = 0$$

$$2x + y - \alpha z = 0$$

$$(\alpha + 2)x - 2y + \alpha z = 0$$

有非平凡解. 求与这两个值对应的解。 $\alpha$ .

65 If

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -3 & 1 & -1 \ 1 & -5 & 1 \ -1 & 1 & -3 \end{bmatrix}$$

求……的值 $\lambda$ 对于该方程 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \lambda\mathbf{X}$ 有非平凡解.

66 给定矩阵

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & a & -1 \ a & -2 & 2 \ -1 & 1 & a \end{bmatrix}$$

(a) solve $|\mathbf{A}| = 0$ 对于实数 $a$ ,

(b) if $a = 2$ , find $\mathbf{A}^{-1}$ 从而求解

$$\mathbf{A} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 2 \end{bmatrix}$$