(c) 若 $a = 0$ ，求其通解

$$\mathbf{A} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$$

(d) 若 $a = 1$ ，证明

$$\mathbf{A} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}$$

可以解出非零的 $x$ , $y$ 和 $z$ 。

67 使用 MATLAB 或类似软件包求矩阵的逆

$$\begin{bmatrix} 6 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 2 & 6 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 6 & 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 & 6 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 2 & 6 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 6 \end{bmatrix}$$

从而求解矩阵方程

$$\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{c}$$

其中 $\mathbf{c}^T = [1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1]$ 。

68 在有限元计算中，双线性函数

$$u(x, y) = a + bx + cy + dxy$$

常用于在四边形上进行插值，且数据始终以矩阵形式存储。如果函数拟合数据 $u(0, 0) = u_1$ , $u(p, 0) = u_2$ , $u(0, q) = u_3$ 和 $u(p, q) = u_4$ 在矩形的四个角点上，可使用矩阵求出系数 $a$ , $b$ , $c$ 和 $d$ 。

69 在某工业过程中，水依次流经三个水箱，如图 5.6 所示。

各水箱横截面为单位面积，水深分别为 $x$ , $y$ 和 $z$ 。流入第一个水箱的流量为 $u$ ，连接水箱 1 和 2 的管道中的流量为 $6(x - y)$ ，连接水箱 2 和 3 的管道中的流量为 $5(y - z)$ ，而从水箱 3 流出的流量为 $4.5z$ .

图 5.6 第 69 题中三个水箱的流动。

证明在稳流情况下该系统的方程为

$$u = 6x - 6y$$

$$0 = 6x - 11y + 5z$$

$$0 = 5y - 9.5z$$

并由此求出 $x$ , $y$ 和 $z$ 。

70 已知某函数与近似函数

$$f(z) = \frac{az + b}{cz + 1}$$

closely。将它拟合到三个点 $(z = 0, f = 1)$ , $(z = 0.5, f = 1.128)$ 和 $(z = 1.3, f = 1.971)$ 。证明参数满足

$$\begin{bmatrix} 1 \ 1.128 \ 1.971 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0.5 & 1 & -0.5640 \ 1.3 & 1 & -2.562 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix}$$

求出 $a$ , $b$ 和 $c$ ，从而得到近似函数（建议使用 MATLAB）。检验其值 $f(1) = 1.543$ . （注意这些值取自 cosh 的表格。）

这里描述的方法是一个强大的近似方法的简单例子。

71 悬臂梁在均匀载荷 下弯曲，并受到轴向力 的作用，作用于其自由端。对于小挠度，梁的形状由以下方程组给出数值近似 $z$ 每单位长度 $w$ 在其自由端。对于小挠度，梁形状的数值近似由以下方程组给出。 $P$ 在其自由端。对于小挠度，梁形状的数值近似由以下方程组给出。

$$\begin{aligned} -vy_1 + y_2 &= -u \ y_1 - vy_2 + y_3 &= -4u \ y_2 - vy_3 + y_4 &= -9u \ 2y_3 - vy_4 &= -16u \end{aligned}$$