图 5.7 题 71 中的悬臂梁。

挠度已在图 5.7 中标出。参数 $\nu$ 定义为

$$v = 2 + \frac{PL^2}{16EI}$$

其中 $EI$ 是抗弯刚度， $L$ 是梁的长度。参数 $u = wL^4/32EI$ 。

当 $v = 3$ 和 $u = 1$ 时，使用克莱姆法则或伴随矩阵求解这些方程。

注意用这些方法求解这个非常简单的问题所需的巨大工作量。在后面的章节中将介绍效率高得多的方法。应使用 MATLAB 等计算机软件包来检验结果。

5.5.2 线性方程组的求解：消元法

通过考虑两个联立方程的求解，可以理解消元法背后的思想

$$x + 2y = 4$$

$$2x + y = 5$$

减去 2 $\times$ 从方程组中的第一个方程得到

$$x + 2y = 4$$

−3y = −3

将第二个方程除以 $-3$

$$x + 2y = 4$$

$$y = 1$$

从这些方程中的第二个方程 $y = 1$ 并代入第一个方程得到 $x = 2$ 。

这个例子说明了用高斯消元法求解线性方程组的基本技巧，其原理非常直接。然而，要确保计算高效地进行，需要相当仔细。给定 $n$ 个关于变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的线性方程，我们通过一系列步骤求解：

• (1) 我们用 $x_1$ 来表示并解出第一个方程中的 $x_2, \dots, x_n$ ，并消去 $x_1$ 从其余方程中消去。
• (2) 然后我们从剩余方程组中的第二个方程解出 $x_2$ 用 $x_3, \dots, x_n$ 表示，并从其余方程中消去 $x_2$ 。
• (3) 我们依次对 $x_3, x_4, \dots$ 重复上述过程，直到得到关于 $x_n$ 的最后一个方程，然后即可求解。
• (4) 我们依次回代得到 $x_{n-1}, x_{n-2}, \dots, x_1$ 。

对于变量较少的情况，比如两个、三个或四个变量，该方法很容易应用，效率也不是最优先考虑的因素。在大多数科学和工程问题中，我们通常要处理大量的变量——对一个简单的稳定性分析