$$\begin{aligned} x + 4y &= -7 && x^{(r+1)} = -7 - 4y^{(r)} \ 4x + y &= 2 && \text{and the Jacobi iteration is written} \ y^{(r+1)} &= 2 - x^{(r)} \end{aligned}$$

迭代从某个初始值开始就会剧烈发散，即使该初始值 $x = 1.1$ , $y = -2.1$ 已经非常接近精确解。一个能保证收敛的简单检验是检验矩阵是否对角占优。这意味着对角元素的模大于或等于该行中所有非对角元素

的模之和，即 $|a_{ii}| \geq \sum_{\substack{j=1 \ i \neq j}}^n |a_{ij}|$ 对每个 $i$ 都成立。如果方程组不是对角占优的，

迭代方法可能收敛，也可能不收敛。

若不研究特征值，就无法对迭代方法的收敛性进行详细分析，相关内容可参阅专门的数值分析书籍。

本节所述的迭代方法相当容易编程实现，用 MATLAB 或类似软件包来实现非常合适，如图 5.16 所示。

5.5.5 习题

注： 所有这些习题最好使用 MATLAB 等计算机矩阵软件包求解。

79 从估计值 $X = [1 \quad 1 \quad 1 \quad 1]^T$ 出发，用雅可比迭代求解第 73 题（习题 5.5.3）中的方程组。五次迭代后得到的解的精度如何？

80 从估计值 $X = [1 \quad 0 \quad 0 \quad 0]^T$ 出发，用高斯–赛德尔迭代求解第 74 题（习题 5.5.3）中的方程组。三次迭代后得到的解的精度如何？

81 用 MATLAB 或类似软件包编写一个计算机程序，用 SOR（逐次超松弛法）求解第 75 题（习题 5.5.3）中的方程组。确定每个方程组的最佳 SOR 因子。

82 用 SOR 程序求解方程组

使得相邻两次迭代之差在小数点后第四位不超过 1。找出一个能在少于五十次迭代内实现此收敛的 SOR 因子。

83 证明图 5.18 中的电路具有方程

$$= \begin{bmatrix} R_1 + R_2 + R_4 & -R_2 & -R_4 \ -R_2 & R_3 + R_5 + R_2 & -R_5 \ -R_4 & -R_5 & R_4 + R_5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \ I_2 \ I_3 \end{bmatrix}$$

取 $R_1 = 1$ , $R_2 = 2$ , $R_3 = 2$ , $R_4 = 2$ 和 $R_5 = 3$ （全部在 $\Omega$ ）和 $E = 1.5$ V. 证明这些方程是对角占优的，因此用迭代法求解这些方程。

84 用迭代法从 $10 \times 10$ 开始，求解例 5.30 中的矩阵方程 $X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T$ 。验证在少于十次迭代内可以获得四位精度的解。

图 5.18 题 83 的电路图。