5.6 秩

线性方程组的求解已在 5.5 节中讨论过。只要矩阵的行列式非零，我们就可以用逆矩阵得到显式解。然而，当我们考察行列式为零的情形时，结果就远没有那么清晰了。矩阵的秩这一概念有助于使这些结果更加精确。遗憾的是，秩并不是一个容易理解的概念，而且通常难以计算。我们将采用一种非正式的方法，它虽然不是完全一般的，但足以处理 5.5 节中的情形 (c) 和 (d)。我们将采用的方法是：使用图 5.11（5.5.2 节）中描述的高斯消元法，并考察在行列式为零的情况下会产生什么结果。

如果我们从如下方程组出发

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 2 & 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ \vdots \ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \ 0 \ 0 \ \ 1 \end{bmatrix} \quad (5.30)$$

并继续进行消元，第一步和第二步都很正常：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ \vdots \ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ -1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ \vdots \ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ -1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix}$$

消元过程的下一步是在第三列中寻找对角元素上或其下方的非零元素。所有元素都为零——因此该过程按原样进行就会失败。为了克服这个问题，我们直接转到下一列并重复正常的操作序列。我们交换第 3 行和第 4 行，并对第 4 列进行消元。最后，我们交换第 4 行和第 5 行，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ \vdots \ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} \quad (5.31)$$