为进行回代，我们令 $x_6 = \mu$ 。那么

第 4 行给出 $$x_5 = -3x_6 = -3\mu$$

第 3 行给出 $$x_4 = 1 + x_5 + 3x_6 = 1$$

代入得 $$x_3 = \lambda$$

第 2 行给出    $$x_2 = 1 - x_3 - x_5 - 2x_6 = 1 - \lambda + \mu$$

第 1 行给出 $$x_1 = 1 - x_3 - x_4 = -\lambda$$

因此我们的解为

$$x_1 = -\lambda, \quad x_2 = 1 - \lambda + \mu, \quad x_3 = \lambda, \quad x_4 = 1, \quad x_5 = -3\mu, \quad x_6 = \mu$$

这些方程已被化简为行阶梯形，显然同样的过程可以应用于任何矩阵。

一般地，我们使用前面介绍的初等行变换（见 5.5.2 节）来对方程或矩阵进行操作，将其化为行阶梯形：

线下方的所有元素均为零，而线上方每行的首元素（标记为 $\times$ ）均非零。行变换不会改变与该矩阵对应的方程组的解。

当此方法应用于非奇异矩阵时，该过程归结为图 5.10 所示的方法，最终矩阵的对角元素均非零，回代给出唯一解。当行列式为零时，如 (5.30) 所示，消元得到的矩阵对角线上有一些零，并出现一些全零行，如 (5.31) 所示。行阶梯形中非零行的数目称为矩阵的秩，即 rank $\mathbf{A}$ ; 对于 (5.30) 中的矩阵以及由它经过行变换得到的 (5.31)，我们有 秩 $\mathbf{A}$ = 4。

例 5.37 求下列矩阵的秩