解法 使用通常的消元法，在每种情况下得到

$$(a) \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 2 & -1 & 2 \ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 0 & -3 & 4 \ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 0 & -3 & 4 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{rank 2}$$

$$(b) \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ -2 & 2 & -2 \ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{rank 1}$$

$$(c) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{rank 3}$$

更常见的秩的定义由行列式非零的最大方子矩阵的阶数给出。方子矩阵是通过删除若干行和列形成一个方阵而得到的。在 (5.30) 中， $6 \times 6$ 行列式为零，且所有 $5 \times 5$ 子矩阵的行列式都为零；然而，如果我们删除第 3 列和第 6 列以及第 3 行和第 4 行，我们得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$

其行列式等于一，从而证实该矩阵的秩为 4。证明这两个定义的等价性并不简单，此处从略。要确定一个矩阵的秩，观察其阶梯形矩阵要容易得多。

如果我们发现阶梯形矩阵中有任何一行为零，那么为保持一致性，矩阵方程中对应的右端项也必须为零。初等行运算将方程化为阶梯形，使方程组具有如下形式