其中 $\mathbf{u}$ 是一个具有 $m$ 个元素的向量， $\mathbf{v}$ 是一个具有 $(n - m)$ 个元素的向量。注意，每个 $m$ 非零行都会有一个前导非零元素 1，但该元素不一定位于对角线上，例如 (5.31) 中所示。由这一化简可得出三个结论。

• (i) 矩阵 $\text{has rank}(\mathbf{A}) = m$ .
• (ii) 若 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 则方程组无解。
• (iii) 若 $\mathbf{v} = 0$ 则方程组是相容的且有解。此外，该解具有 $(n - m)$ 个自由参数。

对于第 1, 2, . . ., 行，首项 1 出现在列 $m$ 中，因此变量 $c_1, c_2, \dots, c_m$ 可以用右端项和其他 $x_{c_1}, x_{c_2}, \dots, x_{c_m}$ 个变量表示，而这些变量可以任意指定。因此该解具有 $(n - m)$ 个自由参数，从而证明了结果 (iii)。

将方程组写成

AX = b (5.32)

我们定义增广矩阵（ $(n - m)$ ）为矩阵 $\mathbf{A}: \mathbf{b}$ 并附加上 $\mathbf{A}$ 列。当化为行阶梯形时，该矩阵与增广矩阵具有如下形式： $\mathbf{b}$

该图展示了一个包含两个状态的状态结构： $$A = 1$$ 和 $A = 0$ 。状态 $A = 1$ 是一个状态 alpha 为 1 的单一状态。状态 $A = 0$ 是一个状态 alpha 为 0 的状态。状态 $A = 1$ 显示为虚线，状态 alpha 为 1。状态 $A = 0$ 显示为虚线，状态 alpha 为 0。状态 $A = 1$ 也显示为虚线，状态 alpha 为 1。该状

且方程组的解可以用 rank（秩）来表示。从行阶梯形可以很容易看出，A 和 (A : b) 必须具有相同的秩才能保证相容性。原方程组也必须具有相同的性质，因此我们可以用秩更清楚地表述 5.5 节的结论 (c) 和 (d)。