如果 $\mathbf{A}$ 且增广矩阵 $(\mathbf{A} : \mathbf{b})$ 的秩不同，那么方程组 (5.32) 无解。如果两个矩阵的秩相同，则解存在，而且解将包含个数等于 $n - \text{rank } \mathbf{A}$ 的自由参数。

秩的计算并不容易，因此虽然该结果是严格的，但应用起来并不简单。将方程组化为行阶梯形可以立即告诉我们相应矩阵的秩，并给出一种构造性的求解方法。化简过程中涉及大量算术运算，但如果需要求出解，这些运算无论如何都是不可避免的。秩的数值计算通常不需要化为行阶梯形，而是采用更高级的方法，例如奇异值分解。

指令 rank(A) 在 MATLAB 中计算一个 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩。

例 5.38

将下列方程组化为行阶梯形，计算各矩阵的秩，并求方程组的解（如果存在）：

$$(a) \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 5 & 4 \ 1 & -2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 7 \ 2 \end{bmatrix} \quad (b) \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 1 & -1 & 1 \ 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \ 3 \ 2 \end{bmatrix}$$

解 (a) 将第 1 行与第 3 行互换，然后按如下步骤进行消元：

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 & 4 \ 1 & 0 & 3 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 1 & -2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \ 3 \ 1 \ 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{2} \ -\frac{1}{2} \ 1 \ -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$$

交换第 2 行和第 4 行：

$$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{2} \ -\frac{3}{2} \ 1 \ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$