消去第 2 列中的元素：

$$\begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 & x_1 \ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & x_2 \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & x_3 \ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & x_4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{7}{2} \ \frac{3}{5} \ \frac{2}{5} \ -\frac{1}{5} \end{array} \right] \end{array}$$

交换第 3 行和第 4 行：

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 & x_1 \ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & x_2 \ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & x_3 \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & x_4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{7}{2} \ \frac{3}{5} \ -\frac{1}{5} \ \frac{2}{5} \end{array} \right]$$

矩阵的秩为 3，而增广矩阵（ $A : b$ ）的秩为 4，因此矩阵方程 (a) 所表示的方程组是不相容的。注意最后一行无法被满足，所以方程组无解。

(b) 交换第一行和最后一行，将主元化为 1 并进行第一次消元，我们得到

$$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & x_1 \ \hline 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & . \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . \ \hline 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & . \ \hline 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & x_5 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ -1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ \hline 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{array} \right]$$

矩阵和增广矩阵的秩均为 2，因此方程组是相容的，我们可以计算其解：

$$x_1 = 1 - \lambda, \quad x_2 = \lambda, \quad x_3 = 1 - \lambda + \mu - v, \quad x_4 = \mu, \quad x_5 = v$$

正如预期，解中包含三个自由参数，因为方程的阶数为 5 而秩为 2。

在大多数归结为求解线性方程组的实际问题中，通常是从 $n$ 个方程中求出 $n$ 个待求的独立变量。但情况并非总是如此，所得的矩阵形式不是方阵。方程 (5.1) 中描述了一个四个方程、三个未知数的几何例子。行列式的概念只有在矩阵为方阵时才有意义，因此不能使用关于方程组解的简单结论。然而，初等行变换、化为阶梯形以及秩的概念仍然适用，解的存在与否可以用这些概念来表述。下面的一些例子将说明可能出现的各种情况。