欠定方程组

这里变量的个数多于方程的个数。

情形 (a)

$$\text{Solve } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ & & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract row 1 from row 2: } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

消元现已完成，开始回代：

$$\text{Put } z = t$$

$$\text{From row 2 } \quad y = 1 - 2t$$

$$\text{From row 1 } \quad x = 1 - y - z = t$$

因此完整解为

$$x = t, \quad y = 1 - 2t, \quad z = t$$

对于任意 $t$ 。注意 $\text{rank}(\mathbf{A}) = \text{rank}(\mathbf{A} : \mathbf{b}) = 2$ 和 $n = 3$ 所以该解有一个自由参数。

情形 (b)

$$\text{Solve } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 \ & & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract } 2 \times (\text{row 1}) \text{ from row 2: } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$$

并且显然 $\text{rank}(\mathbf{A}) = 1$ 和 $\text{rank}(\mathbf{A} : \mathbf{b}) = 2$ 所以无解。显然最后一行是不一致的。虽然这个例子可能看起来几乎是平凡的，因为方程显然是不一致的 [ $x + y + z = 1$ 和 $2(x + y + z) = 1$ ]，但在更大的系统中，情况几乎从来都不明显。

超定方程组