情况 (c)

$$\text{Solve } \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract row 1 from rows 2 and 3: } \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 2 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract } 2 \times (\text{row } 2) \text{ from row } 3: \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

可以观察到 $\text{rank}(\mathbf{A}) = \text{rank}(\mathbf{A} : \mathbf{b}) = 2$ 并且方程组是相容的，因为最后一行全为零。由于 $n = 2$ 通过回代可得到唯一解 $x = -2$ 以及 $y = 1$ 使用回代法。

然而，对于超定方程组，更常见的情况是无解。

情况 (d)

$$\text{Solve } \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -2 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract row 1 from rows 2 and 3: } \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ -2 \end{bmatrix}$$

$$\text{Subtract } 2 \times (\text{row } 2) \text{ from row } 3: \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -4 \end{bmatrix}$$

显然这些方程是不相容的，因为最后一行表明 $0 = -4$ 且秩 $(\mathbf{A}) = 2$ ，秩( $\mathbf{A} : \mathbf{b}$ ) = 3 证实了这一观察。

解的存在与否可以从行阶梯形以及秩的概念推导出来，由此我们可以理解涉及非方阵的矩阵方程的求解。若 $\mathbf{A}$ 是一个 $p \times q$ 矩阵， $\mathbf{b}$ a $p \times 1$ 为列向量，则矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ 表示 $p$ 个方程、 $q$ 个未知量的线性方程组。矩阵的秩即其行阶梯形中非零行的行数，不可能超过 $p$ 。另一方面，行化简过程所产生的行阶梯形至多有 $q$ 个非零行。因此，一个 $p \times q$ 矩阵的秩不可能超过二者中较小的 $p$ 和 $q$ 。图 5.19 总结了结果。