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注：
- (i) 在第 5.5 节中，针对情形 (a) 至 (d) 陈述了 $p$ 个未知数的 $p$ 方程组解的存在性。这些结果在下表中得到阐明。特别地，它确立了一个非常重要的结论： $\mathbf{A}\mathbf{X} = 0$ 当且仅当 $\det(\mathbf{A}) = 0$ .
- 时才有非平凡解。 $b = 0$ (ii) 对于情形 $a_1, a_2, \dots, a_q$ ，可以从表中得出线性相关/线性无关的另一种视角。回顾第 5.2.2 节和例 5.3，阶数为 $p \times 1$ 的向量
$$\alpha_1 \mathbf{a}_1 + \alpha_2 \mathbf{a}_2 + \dots + \alpha_d \mathbf{a}_d = 0$$
是线性相关/线性无关的，如果方程 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_q$ . 将向量写成某个 $p \times q$ 矩阵的列，并将系数写成 $q \times 1$ 列向量
$$\mathbf{A} = [a_1, a_2, \dots, a_q] \text{ and } X^T = [\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_q]$$
因此我们要求解矩阵方程
AX = 0
由于 $\text{rank}(\mathbf{A} : 0) = \text{rank}(\mathbf{A})$ ，从表格的最后两列读出：
- (a) 若 $r = q - \text{rank}(\mathbf{A}) > 0$ 则 $\mathbf{X} \neq 0$ 存在，因此这些向量线性相关；
- (b) 若 $r = \tilde{q} - \text{rank}(\mathbf{A}) = 0$ 其中 $p > q$ 则 $\mathbf{X} = 0$ 是唯一解，且这些向量线性无关。
- (iii) 由 (ii) (a)，任意 $(p + 1)$ 个向量 $p \times 1$ 线性相关。
- (iv) 对于方阵情形， $p$ 个向量 $p \times 1$ 放在 $\mathbf{A}$ 的各列中，其线性相关性由 $\det(\mathbf{A}) = 0/\det(\mathbf{A}) \neq 0$ .
| $\text{rank}(\mathbf{A} : \mathbf{b}) > \text{rank}(\mathbf{A})$ | $\text{rank}(\mathbf{A} : \mathbf{b}) = \text{rank}(\mathbf{A})$ | |||
|---|---|---|---|---|
| $r = q - \text{rank}(\mathbf{A}) > 0$ | $q = \text{rank}(\mathbf{A})$ | |||
| $p < q$ | $\begin{bmatrix} A \ [X] = [b] \end{bmatrix}$ | 无解，则 $X$ | 解为 $X$ 含 $r$ 个自由参数 | 不可能，因为 $\text{rank}(\mathbf{A}) \leq p < q$ |
| $b = 0$ ，一个解 $X \neq 0$ 存在 | ||||
| $p > q$ | $\begin{bmatrix} A \ [X] = [b] \end{bmatrix}$ | 无解，对于 $X$ | 解为 $X$ 含 $r$ 个自由参数 | 的唯一解 $X$ |
| $b = 0$ ，存在解 $X \neq 0$ 存在 | $b = 0$ ，唯一解为 $X = 0$ | |||
| $p = q$ | $\begin{bmatrix} A \ [X] = [b] \end{bmatrix}$ | 无解，针对 $X$ | 的解 $X$ 具有 $r$ 个自由参数 | 的唯一解 $X$ |
| $\det(\mathbf{A}) = 0$ | $\det(\mathbf{A}) \neq 0$ | |||
| $b = 0$ ，存在解 $X \neq 0$ 存在 | $b = 0$ ，唯一解是 $X = 0$ |
图 5.19 矩阵方程解的存在性总结 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ 其中 $\mathbf{A}$ 是 $p \times q$ 矩阵。