例 5.39 判断下列向量组是线性相关还是线性无关

$$(a) \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} \quad (b) \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \ 5 \ 4 \end{bmatrix} \quad (c) \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} \quad (d) \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

解 (a) $\alpha \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} = 0$ 只有零解 $\alpha = \beta = 0$ 。或者，由这些向量构成的矩阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 3 \ 3 & 1 \end{bmatrix}$ 的列数为 $q = 2$ 且秩为 $= 2$ 所以 $[q - \text{rank}(\mathbf{A})] = 0$ ，从而这些向量线性无关。

(b) $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 5 \ 4 \end{bmatrix}$ 所以这些向量线性相关。或者，在由这些向量构成的矩阵 $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 5 \ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ 中，我们有 $\text{col } 3 = \text{col } 1 + \text{col } 2$ , 因此行列式为零，且 $\text{rank} = 2$ 。这些向量线性相关，因为 $[q - \text{rank}(\mathbf{B})] = 1$ 。

(c) 矩阵 $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \ 2 & 3 & 0 \ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 的行列式非零，所以这些向量线性无关。

(d) 矩阵 $\mathbf{D} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \ 2 & 3 & 0 & 2 \ 3 & 4 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 的秩为 $= 3$ ，因为最后三列的行列式为 $-4$ 。共有四列，所以 $[q - \text{rank}(\mathbf{C})] = 1$ ；这些向量线性

相关，与注记 (ii)(a) 一致。可以验证 $\begin{bmatrix} 0 \ 2 \ 1 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 2 \ 3 \ 4 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$ .