5.6.1 练习

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

85 求 $\mathbf{A}$ 的秩，以及增广矩阵 $(\mathbf{A} : \mathbf{b})$ 的秩。在可能的情况下求解 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ ，并验证有 $(n - \text{rank}(\mathbf{A}))$ 个自由参数。

$$(a) \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$(b) \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$(c) \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$$

$$(d) \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$(e) \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$$

$$(f) \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 3 & 0 & 0 \ 4 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$$

86 求矩阵方程

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 - \alpha \ \alpha & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 \ \alpha \end{bmatrix}$$

中系数矩阵和增广矩阵的秩。对于 $\alpha$ 的每个取值，在可能的情况下求方程的解。

87 求矩阵

$$(a) \quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 4 & 2 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ -2 & -1 & -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad (b) \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

的秩。88 将下列方程中的矩阵化为行阶梯形，确定它们的秩，并在解存在的情况下求解方程：

$$(a) \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 3 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 4 \ 3 \end{bmatrix}$$

$$(b) \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -1 & 1 \ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$$

89 通过求最大非零行列式方阵子矩阵的阶数，确定矩阵的秩

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

将矩阵化为阶梯形并验证你的结果。检查增广矩阵的秩 $(\mathbf{A} : \mathbf{b})$ ，其中 $\mathbf{b}^T = [-1 \quad 0 \quad -1 \quad 0]$ 。方程 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{b}$ 有解吗？

90 在可能的情况下，求解以下矩阵方程：

$$(a) \quad \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix}$$

$$(b) \quad \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 4 & 6 \ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 4 \ -2 \end{bmatrix}$$

$$(c) \quad \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 & -3 \ -2 & 3 & -6 & 1 \ 0 & 11 & 8 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 5 \end{bmatrix}$$