$$(d) \quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \ 3 & 2 & 9 \ 4 & 1 & 3 \ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 4 \ -2 \ -3 \end{bmatrix}$$

9191 在流体流动问题中有五个自然参数。它们以长度 L、质量 M 和时间 T 表示的量纲如下：

速度 = $$V = \text{LT}^{-1}$$ , 密度 = $\rho = \text{ML}^{-3}$

距离 = $$D = L$$ , 重力加速度 = $g = LT^{-2}$

以及

粘度 = $$\mu = \text{ML}^{-1}\text{T}^{-1}$$

为了确定可以构造出多少个无量纲参数，需求出 $p$ , $q$ , $r$ , $s$ 和 $t$ 的值，使得

$$V^p \rho^q D^r g^s \mu^t$$

是无量纲的。写出关于 $p$ , $q$ , $r$ , $s$ 和的方程 $t$ 写成矩阵形式，并证明所得的 $3 \times 5$ 矩阵的秩为 3。因此有两个参数可以独立选取。通过恰当地选取这两个参数，证明它们分别对应于雷诺数 $Re = V\rho D/\mu$ 和弗劳德数 $Fr = Dg/V^2$ 。

92 三维空间中的四个点坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$ ，其中 $i = 1, \dots, 4$ 。根据矩阵

$$\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{bmatrix}$$

的秩，判断这些点位于一个平面上、一条直线上，还是存在其他可能性。

93 一种常用的数值积分方法——参见第 8 章的内容——是高斯积分；它被广泛应用于大多数工程领域的有限元计算中。举一个简单的例子，区间 $-1 \leq x \leq 1$ 上的数值积分写为

$$\int_{-1}^1 f(x) dx = C_1 f(x_1) + C_2 f(x_2)$$

，并且该公式对以下四个函数是精确的： $f = 1, f = x, f = x^2$ 和 $f = x^3$ , 因此它必须对所有三次多项式都准确。这就导出了四个方程

$$C_1 + C_2 = 2$$

$$C_1x_1 + C_2x_2 = 0$$

$$C_1x_1^2 + C_2x_2^2 = \frac{2}{3}$$

$$C_1x_1^3 + C_2x_2^3 = 0$$

用高斯消元法化简方程组，从而推出该方程组仅在 $x_1$ 和 $x_2$ 取在“高斯”点 $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

5.7 特征值问题

在数学及其应用的许多分支中，一个引出至关重要概念的问题是寻求非平凡解 $X \neq 0$ 满足矩阵方程

AX = lX

这被称为特征值问题；使非平凡解存在的标量 $\lambda$ 的值称为特征值，相应的解 $X \neq 0$ 称为特征向量。我们在例 5.28 中见过特征值的一个例子。这类问题自然地出现在工程学的许多分支中。例如，在振动问题中，特征值和特征向量分别描述振动的频率和振型；而在力学中，它们表示受外力作用物体中的主应力和应力主轴。特征值还在