动力系统的稳定性分析，并且是量子力学中能级评估的核心。

5.7.1 特征方程

联立方程组

$$AX = \lambda X \quad (5.33)$$

其中 $\mathbf{A}$ 是一个 $n \times n$ 矩阵， $\mathbf{X} = [x_1 \ x_2 \ \dots \ x_n]^T$ 是一个 $n \times 1$ 列向量，可以写成如下形式

$$(\lambda I - A)X = 0 \quad (5.34)$$

其中 $I$ 是单位矩阵。矩阵方程 (5.34) 只是表示一组齐次方程，我们知道非平凡解存在的条件是

$$c(\lambda) = |\boldsymbol{\lambda} - \boldsymbol{A}| = 0 \quad (5.35)$$

这里 $c(\lambda)$ 是行列式的展开式，并且是一个次数为 $n$ 的 $\lambda$ 多项式，称为 A 的特征多项式。于是

$$c(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + c_{n-2}\lambda^{n-2} + \dots + c_1\lambda + c_0$$

而方程 $c(\lambda) = 0$ 称为 $\mathbf{A}$ 的特征方程。我们注意到，这个方程同样可以通过计算 $|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| = 0$ 得到；然而，在定义特征方程时更倾向于采用 (5.35) 的形式，因为此时 $\lambda^n$ 的系数总是 $+1$ 。

在工程学的许多领域中，特别是在涉及振动或过程控制的领域中，需要确定使 (5.34) 具有非平凡解（即，解满足 $\lambda$ 的那些 $X \neq 0$ ) 是至关重要的。这些 $\lambda$ 的值恰好是满足特征方程的值，称为 $\mathbf{A}$ 的特征值。

例 5.40 求矩阵的特征方程和特征值

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ 1 &am -2 \end{bmatrix}$$

解 由方程 (5.35) 得

$$0 = |\lambda \mathbf{I} - \mathbf{A}| = \begin{vmatrix} \lambda + 2 & -1 \ -1 & \lambda + 2 \end{vmatrix} = (\lambda + 2)^2 - 1$$

所以特征方程为

$$\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0$$

该方程的根，即 $\lambda = -1$ 和 $-3$ ，给出了特征值。